Mentre que Gödel va numerar la lògica per demostrar que la veritat és inabastable, Alan Turing va numerar la maquinària per demostrar que la computació té límits físics. Per a Turing, numeritzar no era només un truc matemàtic, sinó la clau per crear el que avui anomenem programari (software).
La numerització de la màquina (Codi Màquina)
Turing es va adonar que una màquina (un algorisme) es podia descriure completament mitjançant una taula d’instruccions. Si podies escriure aquestes instruccions amb símbols, podies convertir aquests símbols en un número, exactament igual que feia Gödel amb les frases lògiques.
- L’assignació: Cada acció de la màquina (moure’s a l’esquerra, escriure un 1, canviar d’estat) rebia un valor numèric.
- El número de la màquina: Una màquina sencera es convertia en una seqüència de números que, finalment, s’ajuntaven en un únic número gegant.
- Conseqüència: Aquest número no era només una etiqueta; era la descripció estructural de la màquina.
La Màquina Universal de Turing (UTM)
Aquesta és la idea més revolucionària. Si una màquina es pot convertir en un número, llavors una màquina pot llegir el número d’una altra màquina.
Turing va dissenyar una màquina que, en rebre el número de Gödel (la descripció) d’una altra màquina com a entrada, podia simular el seu comportament.
Això és l’origen de l’ordinador programable: en lloc de construir una màquina física per a cada tasca (una per sumar, una per escriure), construïm una Màquina Universal que llegeix números (programes) i actua com si fos la màquina descrita per aquell número.
Numerització i el Problema de l’Aturada
Turing va utilitzar la numerització per aplicar la diagonalització al programari:
Auto-referència: En convertir els programes en números, Turing podia fer que un programa s’analitzés a si mateix (com un mirall enfront d’un altre mirall).
La prova: Va demostrar que si intentem crear un programa A que ens digui si qualsevol altre programa B s’aturarà, arribarem a una paradoxa quan el programa A s’analitzi a si mateix utilitzant el seu propi número de numerització.
Resultat: Com que la paradoxa és irresoluble, Turing va concloure que hi ha números (programes) que són indecidibles: cap màquina pot predir què faran abans d’executar-los.
Comparativa: Gödel vs. Turing en numerització
| Concepte | Numerització de Gödel | Numerització de Turing |
|---|---|---|
| Què numeritza? | Sentències lògiques i demostracions. | Instruccions de hardware i algorismes. |
| Objectiu | Trobar veritats que no es poden provar. | Trobar tasques que no es poden calcular. |
| Producte final | La incompletesa de les matemàtiques. | La invenció de l’ordinador universal (software). |
Si Gödel va demostrar que els números poden parlar de la veritat, Turing va demostrar que els números poden ser màquines. Cada vegada que executes un fitxer .exe o una aplicació al mòbil, estàs fent servir exactament la numerització de Turing: un número que es converteix en acció.
Enfilall
Deixa un comentari…