La numerització de Gödel (o xifratge de Gödel) és el truc genial que va permetre a Kurt Gödel convertir la lògica en matemàtiques pures. Fins a aquell moment, les matemàtiques s’usaven per parlar de números, però Gödel va trobar la manera de fer que els números parlessin sobre les matemàtiques.
El Diccionari: Símbols a Números
El primer pas és assignar un número natural únic a cada símbol bàsic de la lògica. Per exemple, podríem fer una llista senzilla:
¬ (no) → 1
∃ (existeix) → 2
= (igual) → 3
0 (zero) → 4
( (parèntesi) → 5
x (variable) → 6
De la Frase al Número (L’ús dels Nombres Primers)
Per convertir una frase sencera en un únic número sense que els símbols es barregin, Gödel va utilitzar els nombres primers. Si tenim una seqüència de símbols, els posem com a exponents dels primers en ordre (2, 3, 5, 7, 11…).
Exemple amb la frase ¬∃x (no existeix x):
Els símbols són: ¬ (1), ∃ (2), x (6)
Apliquem els nombres primers: 21 ⋅ 32 ⋅ 56
El resultat és un nombre gegant (281.250), però únic.
Gràcies al Teorema Fonamental de l’Aritmètica, aquest número només es pot descomposar d’una sola manera. Si et dono el número, pots descodificar-lo i recuperar la frase original. No hi ha pèrdua d’informació.
L’exemple amb la Frase de Gödel
Aquí és on la numerització es torna metafísica. Gödel va aconseguir numerar no només frases, sinó també demostracions senceres (que no deixen de ser seqüències de frases).
Imagina que tenim la frase G:
G: Aquesta frase no té cap número de demostració.
Mitjançant la numerització, aquesta frase G té el seu propi Número de Gödel (anomenem-lo n). El que Gödel va fer va ser construir una fórmula aritmètica complexa que diu, bàsicament:
No existeix cap número x que compleixi la relació matemàtica de ser el codi d’una demostració per al número n.
El resultat final
Si el sistema intenta demostrar G:
- Si troba una demostració, el número de la demostració existiria.
- Però la frase G diu precisament que aquest número no existeix.
- Llavors el sistema hauria demostrat una cosa que és falsa segons el seu propi codi.
En resum: La numerització és el pont que permet que una sentència matemàtica s’assenyali a si mateixa amb el dit. És com si les matemàtiques s’haguessin fet un selfie i s’haguessin adonat que en la foto hi falta una part de la realitat.
Enfilall
Deixa un comentari…