Anem a traduir la paradoxa del mentider al llenguatge de les màquines utilitzant el mètode de xifratge de Gödel. El truc consisteix a convertir una frase lògica en una operació aritmètica pura.
Creació del Codi Secret
Primer assignem un número natural a cada component bàsic del llenguatge. Imagina aquest diccionari simplificat:
¬ (No / Negació) → 1
P (Es pot provar / Demostrable) → 2
x (La frase o variable) → 3
( (Parèntesi obert) → 4
) (Parèntesi tancat) → 5
La frase a numeritzar
La versió de Gödel de la paradoxa del mentider és la frase G: Aquesta frase no es pot provar. En símbols lògics seria: ¬P(G) (la frase G no és demostrable).
Però per a Gödel, G ha de ser un número. Anem a codificar la seqüència de símbols ¬, P, (, G, ) utilitzant els nombres primers.
El Càlcul (L’exponent de primers)
Usem els nombres primers en ordre (2, 3, 5, 7, 11…) i els elevem al codi de cada símbol:
Primer símbol (¬): Codi 1 → 21
Segon símbol (P): Codi 2 → 32
Tercer símbol ((): Codi 4 → 54
Quart símbol (G): Aquí posem el número que el sistema hagi assignat a la pròpia frase G (suposem que és n) → 7n
Cinquè símbol ()): Codi 5 → 115
El Número de Gödel de la frase seria el producte G = 21 ⋅ 32 ⋅ 54 ⋅ 7n ⋅115
La Paradoxa Numeritzada
Ara tenim un número gegant (Gnum). Aquest número, per si sol, és una instrucció aritmètica que diu:
No existeix cap número que sigui el codi d’una demostració vàlida per al número Gnum.
Resultat final
Si el sistema matemàtic és una màquina que només busca veritats demostrables:
- Si la màquina troba el número de la demostració, llavors Gnum és fals (perquè Gnum deia que no existia). Per tant, la màquina menteix.
- Si la màquina no troba la demostració, llavors Gnum és una veritat (perquè deia que no la trobaria). Però la màquina no pot dir que és veritat perquè no la pot demostrar.
Conclusió numeritzada: La màquina es troba amb un número que sap que és veritat, però que les seves pròpies regles de càlcul li impedeixen processar. El mentider ha quedat atrapat dins de l’engranatge de l’aritmètica.
Enfilall
Deixa un comentari…