El teorema d’incompletesa de Gödel, formulat pel matemàtic Kurt Gödel el 1931, és un dels pilars de la lògica matemàtica i la filosofia de la ciència. En realitat, es tracta de dos teoremes diferents que canvien per complet la nostra comprensió dels sistemes formals.
Primer Teorema d’Incompletesa
Aquest teorema estableix que en qualsevol sistema lògic (com l’aritmètica) que sigui prou potent i consistent, sempre hi haurà enunciats que són certs però que no es poden provar dins d’aquest mateix sistema.
Cap sistema matemàtic pot ser complet (sense enunciats indecidibles: no hi ha cap frase ben construïda que quedi en un llimbs on no es pugui provar ni la seva veritat ni la seva falsedat). Sempre hi haurà veritats matemàtiques que queden fora de l’abast de les regles de demostració del propi sistema.
Gödel va crear una frase matemàtica que deia bàsicament: “Aquesta frase no es pot provar”. Si la proves, entres en una contradicció; si no la proves, la frase és veritat (perquè diu que no es pot provar), però el sistema no pot demostrar-ho.
Segon Teorema d’Incompletesa
Aquest teorema va un pas més enllà i demostra que un sistema formal no pot demostrar la seva pròpia consistència (sense contradiccions internes: dins del sistema és impossible demostrar alhora una cosa i la seva contrària).
No podem fer servir les matemàtiques per provar, sense cap mena de dubte, que les pròpies matemàtiques no contenen contradiccions. Per provar que un sistema és segur, necessites un sistema encara més potent per sobre, el qual també tindria el mateix problema.
Impacte i significat
Abans de Gödel, matemàtics com David Hilbert intentaven trobar una base totalment sòlida i completa per a totes les matemàtiques (el conegut Programa de Hilbert). Gödel va demostrar que aquest objectiu és impossible.
- En computació: Alan Turing es va basar en aquestes idees per demostrar que hi ha problemes que un ordinador mai podrà resoldre (el famós problema de l’aturada).
- En filosofia: Ens diu que la ment humana o la realitat podrien ser sempre més riques que qualsevol conjunt de regles o lleis mecàniques que intentem definir.
En essència, Gödel ens va ensenyar que la veritat és un concepte més gran que la demostrabilitat.
La millor manera d’entendre el Teorema de Gödel és veure’l com una versió matematitzada i molt més sofisticada de la famosa Paradoxa del Mentider.
La Paradoxa del Mentider (L’origen)
La forma clàssica de la paradoxa és la frase:
Aquesta frase és falsa.
Si és veritat, llavors el que diu és cert i, per tant, la frase és falsa. (Contradicció)
Si és falsa, llavors el que diu (que és falsa) no es compleix i, per tant, hauria de ser veritat. (Contradicció)
Aquesta paradoxa bloqueja el sistema perquè utilitza el concepte de veritat.
El gir de Gödel: De la veritat a la prova
Gödel es va adonar que la paradoxa del mentider no es podia expressar directament en matemàtiques perquè la veritat és un concepte massa relliscós. Així que va fer un canvi brillant: va substituir el concepte de veritat pel de demostrabilitat.
Gödel va utilitzar una tècnica anomenada numeració de Gödel per fer que les matemàtiques parlessin sobre elles mateixes. Va construir una sentència matemàtica (anomenem-la G) que, traduïda al llenguatge humà, diu:
G: Aquesta sentència no es pot demostrar en aquest sistema.
Com funciona l’exemple
Ara apliquem la mateixa lògica que amb el mentider, però sota les regles del sistema matemàtic S:
Opció A: El sistema S aconsegueix demostrar G
Si el sistema demostra que G és veritat, llavors el que diu G ha de ser cert. Però G diu que no es pot demostrar. Per tant, el sistema hauria demostrat una falsedat. Si això passa, el sistema és inconsistent (es contradiu).
Opció B: El sistema S NO pot demostrar G
Si el sistema no pot demostrar G, llavors el que diu la frase G (Aquesta sentència no es pot demostrar) és, precisament, veritat.
Conclusió: Tenim una veritat (G) que el sistema no pot demostrar. Per tant, el sistema és incomplet.
Mentre que la paradoxa del mentider porta a una contradicció sense sortida, el Teorema de Gödel porta a una tria forçosa:
O el teu sistema matemàtic menteix (és inconsistent).
O el teu sistema matemàtic té límits (és incomplet).
Gödel va demostrar que qualsevol sistema aritmètic seriós sempre triarà l’opció 2: serà incomplet. Sempre hi haurà mentiders matemàtics que diuen la veritat però que el sistema és massa rígid per provar-ho.
Per què això és tan important?
Fi de l’idealisme matemàtic: Va carregar-se la idea que tot el que és veritat es pot provar. La veritat és un concepte més ampli que la demostrabilitat.
Naixement de la computació: Va influir directament en Alan Turing, qui va portar aquesta idea al món de les màquines. El fet que hi hagi coses que no es poden decidir és el que marca els límits del que un ordinador pot o no pot fer (el problema de l’aturada).
Humilitat intel·lectual: Ens diu que qualsevol llenguatge prou ric per descriure el món tindrà sempre punts cecs.
Resum visual
Consistència + Complexitat ⟹ Incompletesa
És a dir: si vols un sistema que no menteixi i que sigui útil, accepta que no ho sabrà tot.
Enfilall
Deixa un comentari…