Ohkwá:ri-tón

La matemàtica de l’infinit està plena de situacions que fan trontollar el sentit comú. Com que la nostra intuïció està dissenyada per a un món finit (on el tot sempre és més gran que les parts), quan apliquem les regles de la teoria de conjunts a l’infinit apareixen aquestes cèlebres paradoxes.

L’Hotel Infinit de David Hilbert

Imaginem un hotel amb habitacions infinites, i totes estan ocupades. Arriba un nou hoste de nit i demana una habitació. En un hotel normal, el recepcionista diria Ho sento, està ple. Però en l’hotel infinit, el recepcionista diu Cap problema!.

Moure l’hoste de l’habitació 1: Pas inicial. El recepcionista demana a l’hoste de l’habitació 1 que es mogui a la 2.

Desplaçament general: Efecte dominó. Demanen a l’hoste de la 2 que vagi a la 3, al de la 3 que vagi a la 4… i així successivament. Com que hi ha infinites habitacions, tothom en té una de nova ($n \rightarrow n+1$).

Habitació lliure: L’habitació 1 queda buida i el nou hoste hi pot entrar.

El més boig és que si arriba un autobús amb infinits passatgers nous, també es pot resoldre: només cal demanar a cada hoste actual que es mogui a l’habitació que resulta de multiplicar el seu número per 2 (el de la 1 va a la 2, el de la 2 a la 4, el de la 3 a la 6…). Totes les habitacions senars queden buides, i hi poden entrar els infinits nous hostes!

La paradoxa de Galileu (Els quadrats perfectes)

Molt abans de Cantor, Galileu Galilei ja es va barallar amb l’infinit. Ell va comparar els números naturals amb els números que són quadrats perfectes ($1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$…).

D’una banda, és evident que hi ha molts més números naturals que quadrats perfectes (la majoria de números, com el 2, el 3, el 5, el 6, no són quadrats perfectes). Però Galileu va veure que podia fer un aparellament perfecte:

Número Natural	Quadrat Perfecte
1	1
2	4
3	9
4	16
n	$n²$

Com que cada número té un quadrat i no en sobra cap, hi ha d’haver la mateixa quantitat de tots dos. Galileu es va rendir i va dir que conceptes com més gran, més petit o igual només serveixen per a coses finites. Cantor, segles després, va demostrar que sí tenien la mateixa mida: $\aleph_0$.

La trompeta de Torricelli (o Corn de Gabriel)

Aquesta paradoxa uneix la geometria i el càlcul, i demostra que l’infinit pot crear objectes físicament impossibles. Es tracta d’una figura geomètrica que es crea agafant la gràfica de la funció $y = \frac{1}{x}$ (des d’x = 1 fins a l’infinit) i fent-la girar en l’espai com un embut. Utilitzant integrals, els matemàtics van demostrar que:

• El seu volum és finit (exactament $\pi$).

• La seva àrea de superfície és infinita.

Això significa que podríem omplir la trompeta amb una quantitat finita de pintura (per exemple, 3.14 litres), i aquesta pintura cobriria tot l’interior. Però si volguéssim pintar la paret exterior de la trompeta, necessitaríem una quantitat infinita de pintura!

Les llums de Thomson

Aquesta és una paradoxa conceptual sobre les supertasques (tasques que requereixen un nombre infinit de passos en un temps finit). Imaginem un llum amb un polsador.

• En el segon 0, el llum està encès.

• Al cap d’1 minut, l’apaguem.

• Al cap de mig minut (1,5 minuts totals), l’encenem.

• Al cap d’un quart de minut, l’apaguem…

Cada vegada esperem la meitat del temps anterior abans de prémer l’interruptor ($\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$,$\dots$). La suma d’aquests intervals de temps és una sèrie geomètrica que s’acaba exactament quan es compleixen 2 minuts.

La pregunta és: En el minut 2 exactament, el llum està encès o apagat? No pot estar encès, perquè cada vegada que s’encén va seguit d’un apagat. I no pot estar apagat, perquè cada apagat va seguit d’un encès. Les matemàtiques ens diuen que la seqüència no té un límit definit en l’instant final.

Enfilall