Ohkwá:ri-tón

Les matemàtiques de l’infinit és un dels terrenys més fascinants i contraintuïtius de la ciència. Durant segles, l’infinit es va considerar un concepte filosòfic o un límit inassequible, fins que a finals del segle XIX, el matemàtic Georg Cantor va demostrar que l’infinit es pot mesurar, classificar i que, de fet, hi ha infinits més grans que altres.

Definició matemàtica rigorosa (Teoria de conjunts)

A finals del segle XIX, el matemàtic Richard Dedekind (col·laborador de Cantor) va donar la definició formal de què és un conjunt infinit:

Un conjunt és infinit si, i només si, es pot posar en correspondència biunívoca (aparellar element a element) amb una part pròpia de si mateix (és a dir, amb un subconjunt més petit).

Perquè aquest aparellament sigui perfecte, s’han de complir dues condicions. Si tenim els conjunts $\mathbb{N}$ i A:

Injectiva (no hi ha elements repetits): Dos elements diferents de $\mathbb{N}$ no poden anar a parar al mateix element d’A. Cada un té la seva parella exclusiva.

Subjectiva (no sobra ningú): Tots els elements del conjunt A tenen una parella en $\mathbb{N}$. No en queda cap de sol.

Quan una funció és injectiva i subjectiva alhora, s’anomena bijecció (o correspondència biunívoca). En el món dels objectes finits, això és impossible. Si tenim 5 pomes, no podem fer un aparellament un a un amb només 3 d’aquestes pomes sense que en sobrin.

Però pensem en altres termes, en números naturals. Intuïtivament, pensem que hi ha la meitat de números parells que de números naturals, oi? Doncs en les matemàtiques de l’infinit, hi ha exactament els mateixos. Podem aparellar el 1 amb el 2, el 2 com el 4, el 3 amb el 6… i així fins a l’infinit. En el món infinit una part del conjunt pot ser igual de gran que el conjunt sencer.

Què no és l’infinit?

Per entendre l’infinit, de vegades és més fàcil definir què no és:

No és el número més gran: Si l’infinit fos un número (anomenem-lo I), podríem sumar-li 1 (I + 1) i crear un número més gran, la qual cosa contradiria la definició.

No és indefinit o desconegut: Sabem exactament com es comporta l’infinit matemàtic, quines lleis obeeix i, com hem vist, fins i tot sabem quins són més grans que altres. Està perfectament definit.

El Paradís de Cantor: no tots els infinits són iguals

Abans de Cantor, es pensava que l’infinit era simplement un lloc on no s’arribava mai. Ell va canviar la perspectiva definint la mida dels conjunts infinits (anomenada cardinalitat).

Per fer-ho, va utilitzar el concepte de bijecció (aparellar elements un a un). Si pots aparellar cada element del conjunt A amb un element del conjunt B sense que en sobri cap, llavors tenen la mateixa mida.

L’infinit comptable (_​$\aleph_0$ – alef zero)

El primer nivell de l’infinit és el dels números naturals (1, 2, 3, 4, …). Cantor va anomenar la mida d’aquest conjunt $\aleph_0$ (alef zero, la primera lletra de l’alfabet hebreu). Aquí és on apareix la primera gran paradoxa (il·lustrada sovint amb l’Hotel Infinit de Hilbert):

L’infinit incomptable: un salt cap a un infinit més gran

Es podria pensar que tots els infinits són $\aleph_0$, però Cantor va demostrar que no és així mitjançant el famós argument de la diagonalització.

Si intentem agafar tots els números reals (els decimals) que hi ha entre el 0 i l’1 (per exemple: 0,1234…, 0,9999…, $\pi-3$, etc.) i intentem fer una llista numerada per aparellar-los amb els números naturals, sempre ens en deixarem algun.

Cantor va demostrar que, inventant-nos un número nou canviant la diagonal de la llista, sempre podem crear un número decimal que no estava a la llista. Per tant:

• El conjunt dels números reals és més gran que el dels números naturals.

• Aquest infinit s’anomena l’infinit del continu (c o $2^{\aleph_0}$).

Hi ha infinits petits (com els grans de sorra conceptuals dels números enters) i infinits densos i continus (com una línia contínua on no hi ha espais buits).

L’aritmètica de l’infinit

L’infinit no actua com un número normal. Si intentem fer servir les regles de l’escola, ens trobarem amb contradiccions. En l’aritmètica de cardinals infinits (fent servir $\infin$ de manera intuïtiva):

• $\infin$ + 1 = $\infin$ (si arriba un client nou a l’Hotel Infinit ple, se li pot fer lloc movent tothom una habitació més enllà).

• $\infin$ + $\infin$ = $\infin$ (si s’uneixen dos infinits de la mateixa mida, el resultat no és el doble de gran, és el mateix infinit).

• $\infin$ x $\infin$ = $\infin$

Però atenció: $\infin$ – $\infin$ o $\infin$ / $\infin$ són indeterminacions. No tenen un resultat fix en el càlcul matemàtic perquè depèn de com de ràpid¹ creixi cada infinit.

La hipòtesi del continu: el gran misteri

Cantor va classificar els infinits en una escala: $\aleph_0$_​, $\aleph_1$, $\aleph_2$,… Llavors es va fer una pregunta lògica: Hi ha algun infinit entremig de l’infinit dels números naturals ($\aleph_0$) i el dels números reals (c)? Ell creia que no, que el dels reals era directament el següent ($\aleph_1$). Això es coneix com la Hipòtesi del Continu.

A mitjans del segle XX, els matemàtics Kurt Gödel i Paul Cohen van demostrar una cosa increïble: aquesta pregunta no es pot respondre amb les matemàtiques actuals. És un enunciat independent dels axiomes estàndard de la teoria de conjunts (ZFC). Pots decidir que és veritat o que és mentida, i crearies dues matemàtiques consistents diferents.

L’estudi de l’infinit ens demostra que la intuïció humana es queda curta quan mirem més enllà del que és finit, convertint l’infinit no en un destí final, sinó en un paisatge sencer per explorar.

Enfilall

1. Què vol dir com de ràpid creix cada infinit? Quan en matemàtiques diem que una funció tendeix a l’infinit ($\infty$), no estem parlant d’un número fix, sinó d’un procés de creixement sense límit. L’infinit és com una destinació a la qual ens dirigim, però la clau és que no totes les funcions viatgen cap a l’infinit a la mateixa velocitat.
   
   Direm que un infinit és més ràpid que un altre si, a mesura que la variable es fa gran, el valor d’una funció esdevé incomparablement més gran que el de l’altra.
   
   Exemple pràctic: la cursa cap a l’infinit
   
   Imaginem tres funcions diferents quan la variable x es fa molt gran (tendeix a $\infty$):
   
   $f(x) = x$ (creixement lineal)
   
   $g(x) = x^2$ (creixement quadràtic)
   
   $h(x) = e^x$ (creixement exponencial)
   
   Si ens mirem els resultats d’anar introduint valors de x cada cop més grans, podem veure aquesta diferència de velocitat de manera immediata:
   
   
   
   Totes tres funcions tenen com a destinació final l’infinit, però és evident que la funció exponencial $e^x$ corre molt més ràpid que la quadràtica $x^2$, i aquesta última molt més ràpid que la lineal x.
   
   Per què $\infty – \infty$ és una indeterminació?
   
   Si ens trobem amb la resta de dos infinits, el resultat final dependrà exclusivament de quin dels dos sigui més ràpid. Com que d’entrada no podem saber qui guanya la cursa sense analitzar la funció, en diem indeterminació.
   
   Mirem tres casos diferents d’un mateix patró d’
   $\infty – \infty$:
   
   Guanya el primer infinit:
   
   $\lim_{x \to \infty} (x^2 – x) = \infty$
   
   Com que $x^2$ creix molt més ràpid que x, la resta es fa infinitament gran a favor del primer terme.
   
   Guanya el segon infinit:
   
   $\lim_{x \to \infty} (x – x^2) = -\infty$
   
   El segon terme és el més ràpid, de manera que arrossega el resultat cap al pou de l’infinit negatiu.
   
   Empat o equilibri:
   
   $\lim_{x \to \infty} ((x + 5) – x) = 5$
   
   Tots dos costats creixen exactament a la mateixa velocitat (lineal), de manera que es neutralitzen i només en queda la diferència constant.
   
   Per què $\infty / \infty$ és una indeterminació?
   
   Amb la divisió ens cal fer el mateix exercici: comparar quina funció té més força (més velocitat), si la del numerador o la del denominador.
   
   El numerador és més ràpid:
   
   $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x} = \infty$
   
   La part de dalt creix tant que la divisió es dispara cap a l’infinit.
   
   El denominador és més ràpid:
   
   $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2} = 0$
   
   La part de baix es fa tan gran i tan de ràpid que redueix el valor de la fracció pràcticament a zero.
   
   Empaten en velocitat:
   
   $\lim_{x \to \infty} \frac{3x}{x} = 3$
   
   Com que creixen al mateix ritme, es cancel·len les variables i el resultat és un número fix.
   
   L’escala de poder dels infinits (ordres de magnitud)
   
   Per poder resoldre aquests límits de manera àgil, ens cal conèixer l’escala establerta en matemàtiques que classifica les funcions segons la seva velocitat de creixement. De més lenta a més ràpida, l’escala és la següent:
   
   $\log(x) \ll x^n \ll a^x \ll x! \ll x^x$
   
   Regla clau: Qualsevol funció exponencial ($a^x$) sempre guanyarà una potència ($x^n$), i qualsevol potència sempre deixarà enrere un logaritme ($\log(x)$) quan ens acostem a l’infinit. ↩︎