Imagineu un tauler d’escacs estàndard de 8 x 8, que té un total de 64 caselles. Ara, agafem unes tisores i eliminem les dues caselles de les cantonades oposades en diagonal. El tauler es queda, per tant, amb 62 caselles en total.
A continuació, disposem de 31 fitxes de dòmino. Sabem que cada fitxa de dòmino té la mida exacta per tapar dues caselles adjacents del tauler (ja sigui en horitzontal o en vertical).
Si la mida total de les 31 fitxes equival exactament a les 62 caselles restants… és possible cobrir tot el tauler mutilat amb les fitxes sense que cap sobresurtis ni es superposés? Si és possible, com ho faríem? Si no ho és, com podem demostrar-ho?
El Sherlock pensa…
Si intentem resoldre el problema provant combinacions dibuixades en un paper, podem passar-nos hores atrapats en milers de variants. Per trobar la solució de pressa, hem de deixar de pensar en l’espai i fixar-nos en una característica fonamental de qualsevol tauler d’escacs: els colors de les caselles.
Solució
La resposta és un no rotund: és absolutament impossible cobrir el tauler. I la demostració és d’una simplicitat meravellosa:
1. Un tauler d’escacs normal té 32 caselles blanques i 32 caselles negres.
2. Les dues cantonades oposades en diagonal d’un tauler d’escacs són sempre del mateix color. Per tant, en eliminar-les, hem extret, per exemple, dues caselles negres. El tauler mutilat es queda amb 32 caselles blanques i només 30 caselles negres.
3. Ara pensem en les fitxes de dòmino. Independentment de com col·loquem una fitxa (en horitzontal o en vertical), aquesta sempre farà servir una casella blanca i una casella negra.
Com que cada fitxa necessita obligatòriament una parella de colors diferents, 31 fitxes de dòmino necessitaran exactament 31 caselles blanques i 31 caselles negres per poder-se col·locar. Com que el nostre tauler té un desequilibri de colors (32 i 30), mai podrem completar el trencaclosques.
D’això en matemàtiques se’n diu una demostració per paritat.
Font: My best mathematical and logic puzzles – Martin Gardner
Enfilall
Deixa un comentari…